WPROWADZENIE

Model Lotki-Volterry to klasyczne narzędzie w ekologii, służące do opisania dynamicznych relacji między dwiema populacjami: drapieżnika i ofiary. Model zakłada, że wzrost populacji ofiar jest hamowany przez obecność drapieżników, a wzrost populacji drapieżników zależy od dostępności pożywienia, czyli liczebności ofiar.

Podstawowe założenia modelu:

• Są dwie populacje: W modelu występują tylko dwie populacje: drapieżniki i ofiary.
• Brak innych czynników: Nie uwzględnia się innych czynników, takich jak konkurencja międzygatunkowa, choroby czy zmiany środowiskowe.
• Proste zależności: Wzrost populacji ofiar jest hamowany przez obecność drapieżników, a wzrost populacji drapieżników zależy od dostępności pożywienia, czyli liczebności ofiar.

Równania modelu:

Równania są różniczkowe, bo pokazują zmiany liczebności w czasie:
$$\frac{dx}{dt} = x(\alpha – \beta y)$$
$$\frac{dy}{dt} = y(\gamma x -\delta)$$
gdzie:
x – liczebność populacji ofiar
y – liczebność populacji drapieżników
t – czas
α – współczynnik wzrostu naturalnego populacji ofiar (w przypadku braku drapieżników)
β – współczynnik śmiertelności ofiar spowodowany drapieżnictwem
γ – współczynnik wzrostu populacji drapieżników zależny od ilości pożywienia
δ – współczynnik śmiertelności naturalnej populacji drapieżników (w przypadku braku pożywienia)

KOD W JĘZYKU PYTHON

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def lotka_volterra(alpha, beta, gamma, delta, x0, y0, t):
  """
  Funkcja symulująca model Lotki-Volterry.
    alpha: Współczynnik wzrostu naturalnego populacji ofiar.
    beta: Współczynnik śmiertelności ofiar spowodowany drapieżnikami.
    gamma: Współczynnik wzrostu populacji drapieżników zależny od ilości pożywienia.
    delta: Współczynnik śmiertelności naturalnej populacji drapieżników.
    x0: Początkowa liczba ofiar.
    y0: Początkowa liczba drapieżników.
    t: Czas symulacji.
  """
  dt = 0.1  # Krok czasowy
  n = int(t/dt)
  x = np.zeros(n+1)
  y = np.zeros(n+1)
  x[0] = x0
  y[0] = y0

  for i in range(1, n+1):
    dx = x[i-1] * (alpha - beta * y[i-1])
    dy = y[i-1] * (-gamma + delta * x[i-1])
    x[i] = x[i-1] + dx * dt
    y[i] = y[i-1] + dy * dt

  return x, y

# ZMIEŃ PARAMETRY MODELU
alpha = 0.65
beta = 0.65
gamma = 0.5
delta = 0.2
x0 = 10
y0 = 5
t = 100

# SYMULACJA
x, y = lotka_volterra(alpha, beta, gamma, delta, x0, y0, t)

# WYKRES
plt.plot(x, label='Ofiary')
plt.plot(y, label='Drapieżniki')
plt.xlabel('Czas')
plt.ylabel('Liczba osobników')
plt.legend()
plt.show()

⬆️⬆️⬆️ Zobacz w Google Colaboratory

JAK DZIAŁA PROGRAM?

1. Definicja funkcji lotka_volterra:
   • Funkcja ta służy do symulacji modelu Lotki-Volterry, który opisuje dynamikę populacji dwóch gatunków: ofiar i drapieżników.
   • Przyjmuje ona następujące parametry:
     • alpha: Współczynnik wzrostu naturalnego populacji ofiar.
     • beta: Współczynnik śmiertelności ofiar spowodowany przez drapieżniki.
     • gamma: Współczynnik wzrostu populacji drapieżników zależny od ilości pożywienia (ofiar).
     • delta: Współczynnik śmiertelności naturalnej populacji drapieżników.
     • x0: Początkowa liczba ofiar.
     • y0: Początkowa liczba drapieżników.
     • t: Czas symulacji.
   • Wewnątrz funkcji zdefiniowano dt (krok czasowy) i obliczono n (liczbę kroków).
   • Tworzone są dwie tablice x i y, które przechowują odpowiednio populację ofiar i drapieżników w kolejnych krokach.
   • Pętle for symulują zmiany w populacjach w czasie, uwzględniając równania modelu.
   • Funkcja zwraca tablice x i y.
2. Ustawienie parametrów modelu:
   • Zdefiniowane są wartości dla parametrów alpha, beta, gamma, delta, x0, y0 i t.
   • Parametry te reprezentują współczynniki wzrostu i śmiertelności oraz początkowe populacje i czas symulacji.
3. Symulacja modelu:
   • Wywołanie funkcji lotka_volterra z ustalonymi parametrami.
   • Wynikiem są dwie tablice: x (populacja ofiar) i y (populacja drapieżników) w kolejnych krokach symulacji.
4. Tworzenie wykresu:
   • Użycie biblioteki matplotlib.pyplot do utworzenia wykresu.
   • plt.plot(x, label='Ofiary'): Rysuje linię reprezentującą populację ofiar w czasie.
   • plt.plot(y, label='Drapieżniki'): Rysuje linię reprezentującą populację drapieżników w czasie.
   • plt.xlabel('Czas'): Opis osi x (czas).
   • plt.ylabel('Liczba osobników'): Opis osi y (liczba osobników).
   • plt.legend(): Dodaje legendę, która identyfikuje, która linia reprezentuje ofiary, a która drapieżniki.
   • plt.show(): Wyświetla wykres.